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位换记号、排列测试与状态图:杂耍中的数学

2016 年 7 月 30 日至 8 月 7 日,第 39 届欧洲杂耍大会(European Juggling Convention)在荷兰的阿尔梅勒举行, 8 月 3 日凌晨的搏击之夜(Fight Night)自然再度成为了众人关注的焦点——它是杂耍斗(combat juggling)这项运动最大的赛事。在杂耍斗的圈子里,有两个响当当的大名你必须要知道:德国选手 Jochen Pfeiffer 目前世界排名第二,之前拿过 6 次搏击之夜的冠军;英国选手 Luke Burrage 目前世界排名第一,之前拿过 8 次搏击之夜的冠军。这一年的比赛中,两位老将均以完胜的成绩轻松进入 32 强,并在淘汰赛阶段过关斩将,最终成功在决赛场上相遇。最终,世界排名第二的 Jochen 以 5 比 4 的成绩击败了世界排名第一的 Luke ,夺得了又一个搏击之夜的冠军。

杂耍斗是一种两人对战类的体育运动。比赛规则非常简单。每局比赛开始时,两名选手各自抛耍 3 个杂耍棒。任何一方都可以故意上前干扰另一方(但只能针对对方手中的或者空中的杂耍棒,不能针对对方的手臂和身体)。谁站到最后,谁就赢得该局。先赢 5 局者获得比赛的胜利。

典型的一局比赛大致就像下面这样。这是 Jochen 和 Luke 的第 6 局比赛。

这场决赛确实打得精彩,出现了很多漂亮的瞬间。比如,在第 5 局比赛中, Jochen 做出了一个非常漂亮的防守动作。注意他在最后是如何改变自己的抛耍模式,在不违规的情况下(控制至少 3 个杂耍棒且任意时刻至少有一个杂耍棒在空中)抵挡住对手进攻的。

第 7 局比赛出现了更有意思的局面: Luke 从对方手中抢来了一个杂耍棒,于是在对方满地捡棒子时,自己居然抛耍起了 4 个杂耍棒!

不知道有没有人仔细看过视频后,发现了一个有趣的细节: Luke 虽然抛耍起了 4 个杂耍棒,但是他的动作好赖皮呀!用哪只手抛出的杂耍棒,就用哪只手接住,任何一个杂耍棒都没有在两手之间交替。这恐怕不能叫做杂耍吧!这是不是要算违规呀?

还真不是。两只手各自独立地抛耍 2 个物体,确实是一种基本的杂耍模式。让我们来看三个演示动画,它们分别对应抛耍 3 个物体、抛耍 4 个物体和抛耍 5 个物体时最基本的杂耍模式:

按照大多数人的理解,在任何一种杂耍模式中,左右两只手一定是交替地、有节拍地不断抛耍小球。也就是说,右手接住某个小球并立即把它重新抛出,片刻后就该轮到左手接住某个小球并把它抛出,再过相同的时间后就又该轮到右手接住某个小球并把它抛出……今后,我们把某只手接住并抛出某个小球叫做一次“接抛”。接抛动作将会以右手、左手、右手、左手的顺序轮流完成。我们假设每次接抛动作都是瞬间完成的,小球停留在手中的时间忽略不计。接下来,我们还会把相邻两次接抛之间的时间叫做“一拍”。我们假设杂耍过程中,每一拍的时长都是相同的。

上面这些杂耍模式之所以是“最基本的杂耍模式”,其实就是因为,每次接抛动作都是完全相同的。这意味着,每个小球每次都被抛到了相同的高度,都会在空中停留相同的拍数。如果每个小球都在空中停留 3 拍,结果会怎样呢?让我们画个图来分析一下:

图中,横坐标表示时间,纵坐标表示高度,弧线则表示随着时间的流逝,小球们的高度是如何变化的。每个小球都在空中停留了 3 拍,表现在图上就是,每条弧线都横跨了 3 个区间。由图可知,这里面实际上一共有 3 个小球(我们用 3 种不同的线条分别表示出了它们的轨迹)。此时,每个小球都会交替地来到左手和右手上。

类似地,如果每个小球都在空中停留 5 拍,我们就需要 5 个小球,才能让双手不会闲下来。可以看到,在这种情况下,每个小球也都会交替地来到左手和右手上。

然而,如果每个小球都在空中停留 4 拍,情况就不一样了:对于任意一个固定的小球来说,不管它被哪只手扔了出去, 4 拍之后它将回到同一只手中。可以看到,此时对应着小球数为 4 的情况,也就是上面三个动画中的中间那个动画。